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三角函数基础知识整理

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2024-09-21 02:17

一．角的概念：

1．角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

⑵．“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或可以简记成。

⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．

2．“象限角”

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

3．终边相同的角

结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

注意：

(1)

(2) a是任意角；

(3)与a之间是“+”号，

如：-30°，应看成+(-30°)；

(4) 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

二．弧度制：

1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图，依次是1rad ，2rad ，3rad ，αrad

即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

三．三角函数的定义：

1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离

3. 突出探究的几个问题：

①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.

⑤定义域：

注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.

(3)比值只与角的大小有关.

4 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限全为正,二正三切四余弦

四．诱导公式：

1 终边相同的角的同一三角函数值相等.

2. 诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限.

公式三：

公式六：

sin(90°-a) = cosa,

cos(90°-a) = sina.

tan(90°-a) = cota,

cot(90°-a) = tana.

sec(90°-a) = csca,

csc(90°-a) = seca

公式七：

sin(90°+a) = cosa,

cos(90°+a) = -sina.

tan(90°+a) = -cota,

cot(90°+a) = -tana.

sec(90°+a) = -csca,

csc(90°+a) = seca

公式八：

sin(270°-a) = -cosa,

cos(270°-a) = -sina.

tan(270°-a) = cota,

cot(270°-a) = tana.

sec(270°-a) = -csca,

csc(270°-a) = seca

公式九：

sin(270°+a) = -cosa,

cos(270°+a) = sina.

tan(270°+a) = -cota,

cot(270°+a) = -tana.

sec(270°+a) = csca,

csc(270°+a) = -seca

五．两角和与差的三角函数关系式：

1．两角和与差的三角函数关系式

2推导公式：

六．二倍角公式：

1.二倍角公式:

注意：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．

（２）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的

（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．

七．万能公式：

1．万能公式

证明：1°

2°

3°

八．三角函数的图象与性质：

1．正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

，

注：有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

6．周期性

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期

注意：1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2°“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)¹f (x0)）

3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

7．奇偶性

y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

八．函数的图象与性质：

1．振幅变换:y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A．若A<0 可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折A称为振幅

2．周期变换:函数y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期

3 相位变换: 函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

九．正切函数的图象与性质：

1. 正切线：

正切函数，且的图象，称“正切曲线”

余切函数y＝cotx，x∈(kπ，kπ+π)，k∈Z的图象（余切曲线）

十．反三角函数：

1．反正弦，反余弦函数的意义：

由

3．已知三角函数求角：

求角的多值性法则：1、先决定角的象限2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x；如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角

十一．正、余弦定理：

1 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，

即

=2R（R为△ABC外接圆半径）

2 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

①若A为锐角时:

②若A为直角或钝角时:

4．余弦定理可以解决的问题

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

5．三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力，要求大家掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力

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