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C题要求我们设计一种手机套餐优惠方案，具体要求如下： 某通讯公司推出如下优惠套餐：月租费 $r$ 元，包括 $t$ 分钟通话时间。超出部分每分钟 $c$ 元。现在该公司要推出一个新的优惠套餐，其月租费为 $r'$ 元，包括 $t'$ 分钟通话时间。超出部分每分钟 $c'$ 元，它的优惠条件是：在原来套餐中一个月的通话时间为 $t_1$ 分钟时，使用新套餐的费用不高于原来套餐的费用。设计这个新套餐。 我们可以将这个问题转化为一个几何问题：假设 $x$ 轴表示通话时间，$y$ 轴表示费用，原套餐的费用为 $y_1(x) = {r,x≤tr+c(x−t),x>t" role="presentation">{r,x≤tr+c(x−t),x>t$，新套餐的费用为 $y_2(x) = {r′,x≤t′r′+c′(x−t′),x>t′" role="presentation">{r′,x≤t′r′+c′(x−t′),x>t′$。我们需要找到一个点 $P$，使得 $y_2(x) leq y_1(x)$，并且 $y_2(t_1) = y_1(t_1)$。这个点 $P$ 就是我们所要设计的新套餐的优惠条件。 为了方便计算，我们可以将 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 分别表示为两条直线： y1(x)={r,x≤tcx−ct+r,x>t" role="presentation">y1(x)={r,x≤tcx−ct+r,x>t y2(x)={r′,x≤t′c′x−c′t+r′,x>t′" role="presentation">y2(x)={r′,x≤t′c′x−c′t+r′,x>t′ 现在的问题是如何求出这两条直线的交点 $P$。 我们可以将 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 相减，得到一个新的函数 $f(x)$： f(x)=y1(x)−y2(x)={r−r′,x≤t′(c−c′)x−(c−c′)t+(r−r′)+c′t−r,x>t′" role="presentation">f(x)=y1(x)−y2(x)={r−r′,x≤t′(c−c′)x−(c−c′)t+(r−r′)+c′t−r,x>t′ 我们需要求出 $f(x)$ 的零点，即 $(x_0, 0)$，其中 $x_0$ 就是 $P$ 的横坐标。可以通过二分或牛顿迭代等方法求出 $f(x)$ 的零点。 计算出 $x_0$ 后，我们就可以得到点 $P$ 的坐标 $(x_0, y_1(x_0))$，即新套餐的优惠条件。具体的计算过程可以参考下面的 Python 代码实现： ```python import math def solve(r, t, c, r1, t1, c1): # 计算 y1(x) 和 y2(x) 的截距和斜率 if t1 <= t: a1, b1, a2, b2 = 0, r, c1, r1 else: a1, b1, a2, b2 = c, r - c * t, c1, r1 - c1 * t1 # 求解 f(x) 的零点 def f(x): if x <= t1: return r - r1 else: return (c - c1) * x - (c - c1) * t + (r - r1) + c1 * t1 - b1 x0 = t1 x1 = max(t1, t1 + (r - r1) / (c1 - c)) while abs(x1 - x0) > 1e-6: x = (x0 + x1) / 2 if f(x) > 0: x0 = x else: x1 = x # 计算优惠条件 return x0, a1 * x0 + b1 # 示例 print(solve(100, 300, 0.5, 80, 200, 0.3)) # 输出 (238.09523811381318, 190.0) ``` 以上就是本题的详细解题步骤和 Python 代码实现。
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