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解决共点力平衡问题常用的五种方法

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2024-10-05 17:44

在高一所学内容里，很重要的模块就是力学。而在专门考察力学时，很重要的一个考点就是共点力平衡。在期中、期末考试，甚至是高考中，也经常出现。

共点力作用下物体的平衡：物体所受各力的作用线（或其反向延长线）能交于一点，且物体处于静止状态或匀速直线运动状态。它是静力学中最常见的问题，下面主要介绍处理共点力作用下物体平衡问题的一些思维方法。

1. 解三个共点力作用下物体平衡问题的方法

解三个共点力作用下物体平衡问题的常用方法有以下五种：

（1）力的合成、分解法：对于三力平衡问题，一般可根据“任意两个力的合成与第三个力等大反向”的关系，即利用平衡条件的“等值、反向”原理解答。

例1. 如图1所示，一小球在纸面内来回振动，当绳OA和OB拉力相等时，摆线与竖直方向的夹角α为：（）

图1

A. 15° B. 30°

C. 45° D. 60°

解析：对O点进行受力分析，O点受到OA绳和OB绳的拉力FA和FB及小球通过绳子对O点的拉力F三个力的作用，在这三个力的作用下O点处于平衡状态，由“等值、反向”原理得，FA和FB的合力F合与F是等值反向的，由平行四边形定则，作出FA和FB的合力F合，如图2所示，由图可知α=15°，故答案是A。

图2

（2）矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合成必为零，因此可利用三角形法，求得未知力。

例2. 图3中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的。平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ。AO的拉力FTA和BO的拉力FTB的大小是：（）

解析：

因结点O受三力作用而平衡，且FTA与mg垂直，所以三力应组成一个封闭的直角三角形，如图所示，由直角三角形知识得：，所以选项B、D正确。

（3）正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。

例3. 如图所示，质量为m的物体用一轻绳挂在水平轻杆BC的C端，B端用铰链连接，C点由轻绳AC系住，已知AC、BC夹角为θ，则轻绳AC上的张力和轻杆BC上的压力大小分别为多少？

解析：选C点为研究对象，受力情况如图5（b）所示，由平衡条件和正弦定理可得即得和所以由牛顿第三定律知，轻绳AC上的张力大小为，轻杆BC上的压力大小为。

（4）三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。

例4. 如图6所示，两光滑板AO、BO与水平面夹角都是60°，一轻质细杆水平放在其间，用竖直向下的力F作用在轻杆中间，杆对两板的压力大小为____________。

图6

解析：选轻杆为研究对象，其受三个力而平衡，因此这三力必为共点力（汇交于O”），作出受力分析如图所示。

由图可知，FTA与FTB对称分布，所以，且这两力的夹角为120°，其合力F”应与F相等，以FTA，FTB为邻边构成的平行四边形为菱形，其性质为对角线垂直且平分，根据三角形知识，有又因为所以

（5）正交分解法：多个共点力作用下物体的平衡问题，常采用正交分解法。可将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，即、求解。值得注意的是，对x、y方向选择时，要尽可能使落在x、y轴上的力多，且被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。

例5. 在机械设计中亦常用到下面的力学原理，如图8所示，只要使连杆AB与滑块m所在平面间的夹角θ大于某个值，那么，无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称之为“自锁”现象。为使滑块能“自锁”，θ应满足什么条件？（设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ）

图8

解析：滑块m的受力分析如图9所示，将力F分别在水平和竖直两个方向分解，则：

图9

在竖直方向上

在水平方向上

由以上两式得

因为力F可以很大，所以上式可以写成

故θ应满足的条件为

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