【求索】1+1=2：数学的原点
1＋1
＝2
这个最简单的公式，
就像是一场人类诞生的“简洁”庆典。
——节选自《人类最美的 54 个公式》
本文经授权转载自微信公众号：量子学派（ID：quantumschool），作者：李卍
发现世界上最简单的公式 1＋1＝2，意味着什么？
这个连三岁小孩都能秒懂的公式是人类文明诞生的起点，它昭示着自然数的诞生，引发持续数千年的数字大爆炸。数学创生的全部基本公理都蕴含其中。
而它究竟从何而来，又将引领人类向何而去？
人生识字忧患始，人类的所有烦恼，也是不是因为知道了 1＋1＝2 呢？
NO. 1
从老祖先开始追溯
早在远古时代，我们的老祖先就在储藏猎物、分配食物时，逐渐产生对数的感觉。
当 2 只牛、3 只羊、5 只猪摆在一块，只有这些东西可过冬时，强烈的求生欲使老祖先朦胧地意识到这其中有一种共性，并开始摆弄着自己仅有的 10 只手指计数。然而，从这种原始的抽象感觉到具体的“数”的概念的形成，却经历了极其漫长的历史岁月。
因此，当某位古代先祖第一个意识到“1＋1＝2”，从而认识到两个数相加得到另一个确定的数时，就发现了“数学”一个非常重要的性质——可加性，这是人类文明史上一个极其伟大的时刻。
如同钻木取火，1＋1＝2 的最初使用也仅是迫不得已地为了生存，两者同样至少有着 30 万年的历史，造福人类，但自然数的形成却远比火的诞生有深远影响。
1＋1＝2，关于这个公式，最直观涉及到的就是自然数和加法。
我们已经无法考证，加法究竟是在何时被人类发明的，因为没有足够详细的文献记录，甚至可能没有文字。但加法的出现，无疑是为了在交换商品或战俘时进行运算。
“＋”、“－”出现于中世纪。
据说，当时酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线条把原来画的横线划掉，于是就出现用以表示减少的“－”和用来表示增加的“＋”。最后直到1630年，“＋”作为运算符号才得到大家的公认。
而关于自然数的出现，却比“＋”、“－”开始地更早，大约在 1 万年以前，冰河退却了。石器时代，那些马背上的游牧狩猎者，在中东的山内悄悄地开始了一种新的生活。他们摒弃掉凶横猎杀的本性，开始乖乖下田，播种，进行农耕，这时，如何记录日期、季节，如何计算收藏谷物数、种子数可难为住了这群四肢发达的壮汉。
特别是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域，还发展起了更复杂的农业社会，这群刚进入新时代的农民还遇到了交纳租税的问题。显然，过去石器部落文化里总结的“一”、“二”、“三”、“多”已远远不够用了，人们迫切需要“数”有名称，而且计数必须更准确些。
然而，没有人见过自然数，也没有人知道它是怎么排列分布的。
它是用以计量事物的件数或表示事物次序的数，它的分布或许是兜兜转转一个圈，或许是螺旋交错缠绕式，或许是放射爆炸发散式的，不同选择就会有不同的数学世界。但最终数学世界最后选择的是图1-1“1、2、3、4、5……”这样一个不可逆的直线式的有序体系。
▲ 图1-1
NO. 2
如何巧用皮亚诺公理证明？
我们都知道 1＋1＝2，但你是否有想过为什么 1＋1 就等于 2 呢？
这个问题，不去深思还好，一深思就像鸡生蛋还是蛋生鸡这个难题一样，会把你绕得云里雾里，好在总会有那么几位具有哲学思维的数学家爱孜孜不倦地去思考、证明它。
而在这其中，意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面，用五条公理建立了一阶算术系统，可以用来推导出“1＋1＝2”这一数学世界的原点。
公理1：0 是自然数。
茫茫的数学宇宙里，如图1-2所示，从此有了第一个身影存在——0。
▲ 图1-2
公理2：每一个确定的自然数 a，都有一个确定的后继数 a'，a' 也是自然数。
那么，这个自然数起点“0”是怎么爆发的呢？后继陪伴者会以什么样的形式出现？调皮地围着 0 四处发散，或是偷偷地跑到 0 的后面，亦或是狠心地留 0 一个数在那？
公理2做出了选择，让偌大的数学空间中，出现的每个数都拥有着一个确定的后继数陪伴着自己，如图1-3：
▲ 图1-3
公理3：0 不是任何自然数的后继数。
为了避免后继者不守规矩跑到 0 的跟前，公理3确定了 0 必须也只能是自然数的第一个数。但是防不胜防，这群后继者可能也没那么安分，他们还可能因为同一个姑娘争风吃醋。也就是说，有可能 3 的后继数 3'＝3，也可能 2 的后继数 2'＝3。如下图1-4，出现这种情况：
▲ 图1-4
公理4：不同的自然数有不同的后继数。
为避免上述情况，公理4赶忙着出来定义，如果 n 与 m 均为自然数且 n≠m，那么 n'≠m'；如果 b、c 均为自然数，且 b'＝c' ，那么 b＝c；同一个自然数的后继数相等，不同自然数的后继数不相等，这样，3 就不可能既是 2 的后继数，也是 3 的后继数了。但如果出现图1-5里 2.5 这样的数呢？
▲ 图1-5
为了干掉 2.5 这样非自然数的出现，公理5冒泡了。
公理5：假定 P(n) 是自然数的一个性质，如果 P(0) 是对的，且假定 P(n) 是正确的，则 P(n') 也是真的，那么命题对所有自然数都为真。
它还有另外一种形式：设 S 是自然数集的一个子集，且满足 (i) 0 属于 S；(ii) 如果 n 属于 S，那么 n' 也属于 S；则 S 是包含全体自然数的集合，即 S＝N。
这里的说法可能会有点“绕”，读者可能不是很理解。具体细剖，这是数学中的归纳公理，也就是说如果有一个自然数的性质，那么所有自然数都将满足这个性质，不满足的就不是自然数。这样，我们可以定义自然数系：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理1-5。
再定义加法是满足以下两种规则的运算：
1. 对于任意自然数 m，0＋m＝m；
2. 对于任意自然数 m 和 n，n'＋m＝(n＋m)'。
这样，我们就可以证明 1＋1＝2：
1＋1=0'＋1＝(0＋1)'＝1'＝2；
或者，1＋1＝0'＋0'＝0''＝2。
或者，因为 1＋1 的后继数是 1 的后继数的后继数，即 3；又因为 2 的后继数也是 3，根据皮亚诺公理4，不同自然数的后继数不同，所以 1＋1＝2。
“
这样，根据皮亚诺五条公理建立起来的皮亚诺一阶算术系统，我们就推导出了 1＋1＝2。
NO. 3
哥德巴赫猜想 另一个“（1＋1）”
推导出 1＋1 为什么等于 2，并不能为难那些脑路清晰，异于常人的数学家们。怎么解决世间另一个“1＋1”，这才是这群数学家的心头痛。
哥德巴赫猜想，是数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”，堪称世界近代三大数学难题之一。
大概在 18 世纪左右，德国一富家子弟哥德巴赫，厌倦了锦衣玉食的生活，不顾家人阻拦，偏要跑去一名中学教师，还从此一发不可收拾地爱上数学，就连晚上回家休息，也在捣鼓着阿拉伯数字。而他生平最喜欢玩的游戏竟是加法运算，而且还在玩加法游戏的过程中发现了一个奥妙：任何大于 5 的奇数都是三个素数之和。
但令他无奈的是，他越玩越失败，怎样也无法证明自己的发现。后来，只能求助于当时数学界的权威大咖欧拉。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出：任何大于 5 的奇数都是三个素数之和。随便取个奇数 77，可写成三个素数之和，77＝53＋17＋7；再任取一个奇数 461，461＝449＋7＋5，也是三个素数之和，461 还可以写成 257＋199＋5，仍然是三个素数之和。
没想到独眼巨人欧拉居然也被这个问题给为难住了，1742年6月30日，欧拉给哥德巴赫回信：这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。为了挽回下自己居然也给不出证明的面子，狡猾的欧拉同时还提出了另一个等价命题：任何一个大于 2 的偶数都是两个素数之和。但这个命题他也没能给予出证明。
而这样一个“任一充分大的偶数，都可以表示成为一个素因子个数不超过 a 个的数，与另一个素因子不超过 b 个的数之和”命题，就被统记作“a＋b”，哥德巴赫猜想（也称哥德巴赫-欧拉猜想），也就被称为另一个“（1＋1）”。
NO. 4
二进制世界里的 1＋1
在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆，有一份弥足珍贵的手稿，它的标题为：
“1 与 0，一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。”
这是德国天才大师莱布尼茨的手迹，他用几页异常精炼的描述，发明了一个神奇美妙的数字系统——二进制，他告诉我们，1＋1≠2，在计算机代码世界里，1＋1＝10。
二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用 0 和 1 两个数码来表示的数。它的基数为 2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。当前的计算机系统使用的基本上就是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。
可以说，从 20 世纪第三次科技革命爆发以来，人类就开始进入了计算机时代，我们在虚拟的网络里游戏、社交、狂欢。到现在 21 世纪，开始致力于人工智能的开发，而这些东西本质上都是由计算机实现的。
而未来，完全身处于数字时代的我们，必将被二进制代码全身笼罩，这个世界，1＋1 就只可能等于 2 吗？
NO. 5
结语 回到最初的原点
不管是现实生活中简明易懂的 1＋1＝2，或是数论世界里令人绞尽脑汁的“1＋1”，还是虚拟世界里的 1＋1＝10，都以其自身的客观性和普适性在时间的岁月里不证自明，让人类能以其为始，在接受这些公式和定理的条件下，继续用理性的方法推导衍生出万事万物。并在万事万物中，能轻易地窥视其踪迹。
欲罢不能的王者荣耀是由 0 和 1 的代码编写运行；
置放苹果的天秤则完全满足可加性的量；
总质量总是等于每个物体的质量之和；
……
1＋1＝2 撑起了人类理性世界的基本运转，跨越人类文明始终，不需要名称，不需要翻译，也不需要解释。
它无处不在，藏匿于天地之间，本身就拥有着妙不可言的美感。
1＋1＝2 是真的吗？
本文转自公众号：量子学派——专注于自然科学领域（数理哲）的教育平台
编辑 新世纪小学数学
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