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中小学数学智力竞赛(数学逻辑推理题)

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2024-10-23 16:14

中小学数学智力竞赛(数学逻辑推理题)

全国中小学逻辑思维题（数学部分）[精选·附答案]

假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。

解：

记5升的水壶为A，6升的水壶为B。

装满B，将B中水倒入A至A满，然后倒掉A，将B中剩余水倒入A中，则此时A中有水1升；

装满B，将B中水倒入A至A满，然后倒掉A，将B中剩余水倒入A中，则此时A中有水2升；

装满B，将B中水倒入A至A满，然后倒掉A，将B中剩余水倒入A中，则此时A中有水3升。

周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。一天，周雯来到化验室做作业。做完后想出去玩。等等，妈妈还要考你一个题目，她接着说，你看这6只做化验用的玻璃杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。你能只移动1只玻璃杯，就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?爱动脑筋的周雯，是学校里有名的小机灵，她只想了一会儿就做到了。请你想想看，小机灵是怎样做的?

解：

将第2个玻璃杯中的水倒入第5个玻璃杯中，再将第二个玻璃杯放回。

三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是30％，小黄比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们

这也就是说n个半径为2r的硬币可以完全覆盖桌面。（*）

而能被半径为2r的圆覆盖的矩形定能被4个半径为r的圆所覆盖，这是显然的。（**）

因为把这个矩形分成4个全等的小矩形后，每个小矩形正好被半径为r的圆所覆盖，所以……（也可以这样想：把大圆连同大矩形缩小为原来的一半，则面积变为原来的四分之一，所以……）。

从这假想的n个大圆的每一个里取一个矩形，则必存在一种取法能全取出的矩形能够完全覆盖桌面！（***）

否则的话，不能覆盖的地方一定不在任何一个大圆内！，这与桌面被这n个大圆覆盖矛盾。

由（*）、（**）、（***）论题马上得证！

【9】一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！

一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个！（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的）

教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能，问第二个，不能，第三个，不能，再问第一个，不能，第二个，不能，第三个：我猜出来了，是144！教授很满意的笑了。请问您能猜出另外两个人的数吗？

解：

第一个学生的数是54：，第二个学生的数是：90。

为方便起见设这三个学生分别为A，B，C。他们自己对应的数分别为a，b，c。

首先要知道：

①自己的数要么是另两个数的和，要么是另两个数的差！

②如果一个人看到两个相同的数字则马上能猜出自己的数就是这两个数之和！（注意到正整数就可以了）

第一轮中A不知道，说明b，c不一样

第一轮中B不知道，说明a，c不一样

第一轮中C不知道，说明a，b不一样

到此得知a，b，c都不一样！

第二轮：

若A知道的话，则必有：b=n，c=2n（或对调）推出a=3n。因为若a=n，第一轮中就会有人猜出！

因为A不知道，所以b，c一定不是1：2（或2：1）的关系。

所以若B知道的话，则必有：a=3n，c=2n推出b=5n（或a=3n，c=n推出b=4n）。

因为B不知道，所以a，c一定不是3：2（或3：1）的关系。

而此时C知道了，所以必有a=3n，b=5n推出c=8n（或a=3n，b=4n推出c=7n）。

而7不整除144，所以a，b，c的比例为3：5：8

所以a=54，b=90，c=144。

附：此题类似数学中的递归，再推荐一道与此题相似的题目：

村子里有100对夫妻，其中每个丈夫都瞒着自己的妻子偷情。村里的每个妻子都能立即发现除自己丈夫之外的其他男人是否偷情，唯独不知道她自己的丈夫到底有没有偷情。村里的规矩不容忍通奸。任何一个妻子，一旦能证明自己的男人偷情，就必须当天把他杀死。村里的女人全都严格照此规矩办事。一天，女头领出来宣布，村里至少有一个丈夫偷情。请问接下来会发生什么事？

答案：这是一个典型的递归问题。一旦所有的妻子都知道至少有一个男人出轨，我们就可以按递归方式来看待这个流程。先让我们假设只有一个丈夫偷情。则他的妻子见不到任何偷情的男人，因此知道这个人就是自己丈夫，她当天就会杀了他。假如有两个丈夫偷情，则他俩的妻子只知道不是自己丈夫的那一个男人偷情。因此她会等上一天看那个人有没有被杀死。假如第一天没人被杀死，她就能确定她自己的丈夫也偷了情。依此类推，假如有100个丈夫