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《高等代数,张禾瑞》习题2.1.1

萌宠菠菠乐园
2024-10-29 02:02

2.1.1设 $f(x),g(x),h(x)$ 是实数域上的多项式,证明,若

f(x)2=xg(x)2+xh(x)2," role="presentation">f(x)2=xg(x)2+xh(x)2,

那么 $f(x)=g(x)=h(x)=0$.

证明:假若 $g(x)$ 或 $h(x)$ 是有次数的,则 $g(x)^2+h(x)^2$ 的次数是偶数(为什么?注意,假若 $g,h$ 是复数域上的,则 $g(x)^2+h(x)^2$ 的次数可能不存在).因此$xg(x)^2+xh(x)^2=x(g(x)^2+h(x)^2)$ 的次数为奇数.但是 $f(x)^2$ 的次数或者为偶数,或者不存在.矛盾.因此 $g(x)$ 和 $h(x)$ 都无次数,即 $g(x)=h(x)=0$.因此$f(x)$ 也为0.

2.1.2 求一组满足 ???" role="presentation">??? 式的不全为零的复系数多项式$f(x),g(x),h(x)$.

解:令 $f(x)=0$,$g(x)=ix$,$h(x)=x$.

2.1.3 证明

1−x+x(x−1)2!−⋯+(−1)nx(x−1)⋯(x−n+1)n!=(−1)n(x−1)⋯(x−n)n!." role="presentation">1−x+x(x−1)2!−⋯+(−1)nx(x−1)⋯(x−n+1)n!=(−1)n(x−1)⋯(x−n)n!.

证明:考虑用归纳法.当 $n=1$ 时,$1-x=(-1)^1 frac{x-1}{1!}$.设当 $n=k$ 时命题也成立,则

1−x+x(x−1)2!−⋯+(−1)kx(x−1)⋯(x−k+1)k!=(−1)k(x−1)⋯(x−k)k!." role="presentation">1−x+x(x−1)2!−⋯+(−1)kx(x−1)⋯(x−k+1)k!=(−1)k(x−1)⋯(x−k)k!.

则 $n=k+1$ 时,

1−x+x(x−1)2!−⋯+(−1)kx(x−1)⋯(x−k+1)k!+(−1)k+1x(x−1)⋯(x−k+1)(x−k)(k+1)!=(−1)k(x−1)⋯(x−k)k!+(−1)k+1x(x−1)⋯(x−k+1)(x−k)(k+1)!=(−1)k+1(x−1)⋯(x−(k+1))(k+1)!." role="presentation">1−x+x(x−1)2!−⋯+(−1)kx(x−1)⋯(x−k+1)k!+(−1)k+1x(x−1)⋯(x−k+1)(x−k)(k+1)!=(−1)k(x−1)⋯(x−k)k!+(−1)k+1x(x−1)⋯(x−k+1)(x−k)(k+1)!=(−1)k+1(x−1)⋯(x−(k+1))(k+1)!.

可见,$forall nin mathbf{N}^{+}$,命题都成立.

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