cvxpy简易入门教程
本文案例翻译自Welcome to CVXPY 1.2 — CVXPY 1.2 documentation，教程系本人整理。
百度翻了翻，发现几乎没有cvxpy的中文入门教程，感觉这个库计算凸优化问题时挺有用的，所以参照文档试着写写入门教程，自己也顺便学习一下，有所纰漏见谅。
安装
我的mac是直接python3.9 -m pip install cvxpy就行了（我装了好几个python所以需要声明是3.9的pip，一般正常pip3 install *** 就行），安装很顺利，看网上貌似win比较麻烦，我没试过。
CVXPY 1.2
CVXPY是一种用于凸优化问题的开源Python库。它允许您以自然的方式表达数学问题，而不是以编程求解要求的程序化标准形式表达问题，说白了就是，你可以直接说人话，不用说计算机鸟语。
例如，以下代码解决了简单界约束的最小二乘问题：
import cvxpy as cp
import numpy as np
m = 15
n = 10
np.random.seed(1)
s0 = np.random.randn(m)
lamb0 = np.maximum(-s0, 0)
s0 = np.maximum(s0, 0)
x0 = np.random.randn(n)
A = np.random.randn(m, n)
b = A @ x0 + s0
c = -A.T @ lamb0
x = cp.Variable(n)
prob = cp.Problem(cp.Minimize(c.T@x),
[A @ x <= b])
prob.solve()
print("nThe optimal value is", prob.value)
print("A solution x is")
print(x.value)
print("A dual solution is")
print(prob.constraints[0].dual_value)
结果：
The optimal value is -15.220912605552863
A solution x is
[-1.10133381 -0.16360111 -0.89734939 0.03216603 0.6069123 -1.12687348
1.12967856 0.88176638 0.49075229 0.8984822 ]
A dual solution is
[6.98805172e-10 6.11756416e-01 5.28171747e-01 1.07296862e+00
3.93759300e-09 2.30153870e+00 4.25704434e-10 7.61206896e-01
8.36906030e-09 2.49370377e-01 1.30187120e-09 2.06014070e+00
3.22417207e-01 3.84054343e-01 1.59493839e-09]
先不用管这堆程序是怎么写出来的，后面会慢慢介绍。
最小二乘¶
在最小二乘或线性回归问题中，我们有A∈Rm×n" role="presentation">A∈Rm×n和b∈Rm" role="presentation">b∈Rm，寻找一个向量x∈Rn" role="presentation">x∈Rn使得Ax" role="presentation">Ax接近b" role="presentation">b。接近度定义为平方差的和：
∑i=1m(aiTx−bi)2," role="presentation">∑i=1m(aiTx−bi)2,
也称为ℓ2" role="presentation">ℓ2规范平方，‖Ax−b‖22" role="presentation">‖Ax−b‖22。
在以下代码中，我们用CVXPY解决了最小二乘问题
import cvxpy as cp
import numpy as np
m = 20
n = 15
np.random.seed(1)
A = np.random.randn(m, n)
b = np.random.randn(m)
x = cp.Variable(n)
cost = cp.sum_squares(A @ x - b)
prob = cp.Problem(cp.Minimize(cost))
prob.solve()
print("nThe optimal value is", prob.value)
print("The optimal x is")
print(x.value)
print("The norm of the residual is ", cp.norm(A @ x - b, p=2).value)
结果如下：
The optimal value is 7.005909828287485
The optimal x is
[ 0.17492418 -0.38102551 0.34732251 0.0173098 -0.0845784 -0.08134019
0.293119 0.27019762 0.17493179 -0.23953449 0.64097935 -0.41633637
0.12799688 0.1063942 -0.32158411]
The norm of the residual is 2.6468679280023557
☺️：
这里A为20*15的矩阵，b为20维列向量。
x = cp.Variable(n) 定义了一个叫x的变量，它是一个15维列向量，具体数值这一步不确定。cp.sum_squares函数就是计算平方和的函数，prob=cp.Problem() 定义了一个“问题”，“问题”函数里填写凸优化的目标，目前的目标就是那个“平方和”cost最小，使用cp.Minimize函数表示。prob.solve() 求解，运行完这一步才能确定x的具体数值。
这里也能看出cvxpy编程书写步骤与自然语言接近，完全不是一般编程那样定义变量需要有确定的值，然后再循环调整之类的繁琐语言顺序。
prob.value储存的是minimize(cost)的值，就是优化后目标的值。查看变量x使用x.value
关于cp.norm计算向量范数：
线性规划
常见的标准形式如下：
minimizecTxsubject toAx≤b." role="presentation">minimizecTxsubject toAx≤b.
考虑到这个一般中国人初中就学过了，不解释了。直接给例子：
import cvxpy as cp
import numpy as np
m = 15
n = 10
np.random.seed(1)
s0 = np.random.randn(m)
lamb0 = np.maximum(-s0, 0)
s0 = np.maximum(s0, 0)
x0 = np.random.randn(n)
A = np.random.randn(m, n)
b = A @ x0 + s0
c = -A.T @ lamb0
x = cp.Variable(n)
prob = cp.Problem(cp.Minimize(c.T@x),
[A @ x <= b])
prob.solve()
print("nThe optimal value is", prob.value)
print("A solution x is")
print(x.value)
print("A dual solution is")
print(prob.constraints[0].dual_value)
结果：
The optimal value is -15.220912605552863
A solution x is
[-1.10133381 -0.16360111 -0.89734939 0.03216603 0.6069123 -1.12687348
1.12967856 0.88176638 0.49075229 0.8984822 ]
A dual solution is
[6.98805172e-10 6.11756416e-01 5.28171747e-01 1.07296862e+00
3.93759300e-09 2.30153870e+00 4.25704434e-10 7.61206896e-01
8.36906030e-09 2.49370377e-01 1.30187120e-09 2.06014070e+00
3.22417207e-01 3.84054343e-01 1.59493839e-09]
hhgw：
s0，lamb0，x0是构造线性规划方程组，虽然规划得有点绕，但是不重要，
prob = cp.Problem(cp.Minimize(c.T@x),[A @ x <= b])
看懂这一步就行了。
后面dual_value指线性规划的对偶规划的解。
二次规划
未完待续。
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网址: cvxpy简易入门教程 https://m.mcbbbk.com/newsview676500.html
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