初中数学拓展3x+2y=10求xy的最大值（三种方法哪个更牛？）

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• 2024-12-05 11:23

小学生做法，两数和相等，两数一样时，积最大。3x=2y=5，所以xy=5/3×5/2=25/6，老师，这样可以吗？

！可不可以用a＋b≥2√ab来计算？

刚刚 此题解法 有很多 韦达定理 基本不等式 K法 配方法 等等 最快的是基本不等式 4•3x•2y≤(3x+2y)²⇒xy≤25/6 (取等条件 3x=2y) [注:4ab≤(a+b)²] 很多情况 可以用柯西不等式 分析 观察柯西不等式 (a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)² [注:a,b,c,d∈R,取等条件ad=bc] 项的次数都是2次方的,条件1次幂,结果xy两次幂,故而要创造条件2次方,于是把条件3x+2y=10 两侧平方,创造2次方 便于利用柯西不等式形态, (3x+2y)²=10²⇒(3x)²+(2y)²=100-12xy ----① [(3x)²+(2y)²](1²+1²)≥(3x+2y)²=10²(取等条件3x=2y)把①代入(100-12xy)•2≥100⇒xy≤25/6 初中估计不用柯西不等式 这里讲的是思路 没条件 创造条件

第2种方法不可取，你怎么可以一下子就想到是5呢？然后是5加t和5减t呢，这个做法没有说服力，很牵强。

平方，9x²+4y²+12xy=100 (3x-2y)²+24xy=100 xy=(100-(3x-2y)²)/24 ∴当3x=2y时，xy最大，最大值为100/24=25/6

把3X和2y看作正方形两边时积最大，即3x＝2y时3x乖以2y等于25，xy＝25／6最大。

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