先说勾股数：
勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）
勾股数规律：
首先是奇数组口诀：平方后拆成连续两个数。
其次是偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数。
我们深挖一下口诀
定理： 如a2+b2=c^2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立；
1.直角三角形 a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2奇数列a法则：
若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）， 则a为奇数列平方整数解的关系是：
a = 2 n + 1 b = n 2 + （ n + 1 ） 2 − 1 c = n 2 + （ n + 1 ） 2 a=2n+1 b= n^2+（n+1）^2-1 c= n^2+（n+1）^2 a=2n+1b=n2+（n+1）2−1c=n2+（n+1）2
证明：
由 勾 股 弦 定 理 ， 若 a b c 为 直 角 三 角 形 三 边 整 数 时 必 有 a 2 + b 2 = c 2 关 系 成 立 。 现 将 奇 数 列 a 法 则 条 件 代 入 勾 股 弦 定 理 得 到 下 式 ： （ 2 n + 1 ） 2 + （ n 2 + （ n + 1 ） 2 − 1 ） 2 = （ n 2 + （ n + 1 ） 2 ） 2 由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立。 现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： （2n+1）^2+（n^2+（n+1）^2-1）^2=（n^2+（n+1）^2）^2 由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a2+b2=c2关系成立。现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：（2n+1）2+（n2+（n+1）2−1）2=（n2+（n+1）2）2
化 简 后 得 到 ： 4 n 4 + 8 n 3 + 8 n 2 + 4 n + 1 = 4 n 4 + 8 n 3 + 8 n 2 + 4 n + 1 即 等 式 关 系 成 立 ； 由 法 则 条 件 分 别 取 n = 1 、 2 、 3 … 时 得 到 了 ： 3 2 + 4 2 = 5 2 5 2 + 1 2 2 = 1 3 2 7 2 + 2 4 2 = 2 5 2 9 2 + 4 0 2 = 4 1 2 1 1 2 + 6 0 2 = 6 1 2 1 3 2 + 8 4 2 = 8 5 2 故 得 到 奇 数 列 a 法 则 成 立 化简后得到： 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 即等式关系成立； 由法则条件分别取n=1、2、3 … 时得到了： 3^2+4^2=5^2 5^2+12^2=13^2 7^2+24^2=25^2 9^2+40^2=41^2 11^2+60^2=61^2 13^2+84^2=85^2 故得到奇数列a法则成立 化简后得到：4n4+8n3+8n2+4n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1即等式关系成立；由法则条件分别取n=1、2、3…时得到了：32+42=5252+122=13272+242=25292+402=412112+602=612132+842=852故得到奇数列a法则成立
2.直角三角形 a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2的偶数列a法则：
若a表为2n型偶数（n=2、3、4…）， 则a为偶数列平方整数解的关系是：
a = 2 n b = n 2 − 1 c = n 2 + 1 a= 2n b= n^2 -1 c= n^2+1 a=2nb=n2−1c=n2+1
证明：
由 勾 股 弦 定 理 ， 若 a b c 为 直 角 三 角 形 三 边 整 数 时 必 有 a 2 + b 2 = c 2 关 系 成 立 . 现 将 偶 数 列 a 法 则 条 件 代 入 勾 股 弦 定 理 得 到 下 式 ： ( 2 n ） 2 + （ n 2 − 1 ） 2 = （ n 2 + 1 ） 2 化 简 后 得 到 ： n 4 + 2 n 2 + 1 = n 4 + 2 n 2 + 1 即 等 式 关 系 成 立 ； （ 这 里 需 要 说 明 ， 当 取 n = 1 时 ， 有 b = n 2 – 1 = 1 − 1 = 0 ， 此 时 失 去 三 角 形 意 义 ， 故 只 能 取 n = 2 、 3 、 4 … ） 由 法 则 条 件 分 别 取 n = 2 、 3 、 4 … 时 得 到 了 ： 4 2 + 3 2 = 5 2 6 2 + 8 2 = 1 0 2 8 2 + 1 5 2 = 1 7 2 1 0 2 + 2 4 2 = 2 6 2 1 2 2 + 3 5 2 = 3 7 2 1 4 2 + 4 8 2 = 5 0 2 故 得 到 偶 数 列 a 关 系 成 立 由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立.现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： (2n）^2+（n^2-1）^2=（n^2+1）^2 化简后得到： n^4+2n^2+1= n^4+2n^2+1 即等式关系成立； （这里需要说明，当取n=1时，有b= n2 –1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…） 由法则条件分别取n=2、3、4 … 时得到了： 4^2+3^2=5^2 6^2+8^2=10^2 8^2+15^2=17^2 10^2+24^2=26^2 12^2+35^2=37^2 14^2+48^2=50^2 故得到偶数列a关系成立 由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a2+b2=c2关系成立.现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：(2n）2+（n2−1）2=（n2+1）2化简后得到：n4+2n2+1=n4+2n2+1即等式关系成立；（这里需要说明，当取n=1时，有b=n2–1=1−1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…）由法则条件分别取n=2、3、4…时得到了：42+32=5262+82=10282+152=172102+242=262122+352=372142+482=502故得到偶数列a关系成立
