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华师大版九下数学2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质导学案.docx

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2024-10-16 14:12

文档简介

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质(—)学习目标、重点、难点【学习目标】1、会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.2、会画出y＝a(x＋h)2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．【重点难点】1、通过画图得出二次函数性质.2、识图能力的培养.知识概览图抛物线y＝ax2＋k抛物线y＝ax2＋k对称轴为y轴抛物线y＝ax2＋k抛物线y＝ax2＋k抛物线y＝ax2＋k抛物线y＝ax2＋k的性质当x＜0时，x增大，y减小a＜0，开口向下，当x＞0时，x增大，y减小；抛物线当x＜0时，x增大，y增大抛物线抛物线y＝a(x＋h)抛物线y＝a(x＋h)2抛物线y＝a(x＋h)2的性质对称轴为直线x＝－h抛物线y＝a(x＋h)2a＞抛物线y＝a(x＋h)2大；当x＜－h时，x增大，y减小a＜0，开口向下，当x＞－h时，x增大，y减小；当x＜－h时，x增大，y增大新课导引【生活链接】手工课上，老师给每位同学发了一张边长为20cm的彩色硬纸，要求在其四个角上各剪去一个小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，若设折成的长方体盒子底面积为Scm2，求S与剪掉的小正方形的边长x之间的函数关系式?它是什么函数?与我们上节课所研究的二次函数有关系吗?【问题探究】由于剪掉的小正方形的边长为xcm，所以折合成无盖长方体的底面是边长为(20－2x)cm的正方形，易求S与x的函数关系式，它与上节学过的二次函数y＝二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质(—)形式有什么联系呢?【点拨】S＝(20－2x)2＝4(x－10)2，它的图象可以由抛物线S＝4x2经过平移而来，顶点、对称轴也随之变化．教材精华知识点1抛物线y＝ax2＋k的图象与性质在画函数y＝ax2＋k的图象时，仍用描点法．例如：在同一平面直角坐标系中，画出y＝x2－1和y＝x2＋1的图象．解：列表．x…－3－2－10123…y＝x2＋1…313…y＝x2－1…1－－1－1…描点、连线，即得函数y＝x2＋1与y＝x2－1的图象，如图27－21所示．关于二次函数y＝ax2＋k的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值来研究，下面结合图形，将其性质列表归纳如下：函数y＝ax2＋k(a＞0，k＞0)y＝ax2＋k(a＜0，k＞0)图象开口方向向上向下顶点坐标(0，k)(0，k)对称轴y轴y轴函数变化当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大最大(小)值当x＝0时，y最小值＝k当x＝0时，y最大值＝k拓展(1)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的图象形状相同，位置不同，函数y＝ax2＋k的图象可由函数y＝ax2的图象经过上下平移得到。当k＞0时，函数y＝ax2＋k的图象可看成是将函数y＝ax2的图象向上平移k个单位得到的；当k＜0时，可看成是将函数y＝ax2的图象向下平移|k|个单位得到的．(2)①对于同一个x值，两者的函数值的差是k或－k．②平移时遵循“上加下减”的原则．知识点2抛物线y＝a(x＋h)2的图象与性质抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴为直线x＝－h，顶点坐标为(－h，0)．抛物线y＝a(x＋h)2的形状与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移得到．把y＝ax2的图象向左(或向右)平移h个单位即得y＝a(x＋h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向左平移，当h＜0时，向右平移．性质：当a＞0时，开口向上；当x＜－h时，y随x的增大而减小；当x＞－h时，y随x的增大而增大．当a＜0时，开口向下；当x＜－h时，y随x的增大而增大；当x＞－h时，y随x的增大而减小．例如：在同一平面直角坐标系中，画出y＝x2，y＝(x－1)2，y＝(x＋1)2的图象．解：列表．x…－3－2－10123…y＝x2…41014…y＝(x－1)2…41014…y＝(x＋1)2…41014…描点、连线，即得函数y＝x2，y＝(x－1)2，y＝(x＋1)2的图象，如图27－22所示．拓展抛物线y＝ax2＋c、抛物线y＝a(x＋h)2和抛物线y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同．y＝ax2＋c是将抛物线y＝ax2沿y轴上、下平移|c|个单位而得到的，而y＝a(x＋h)2是将抛物线y＝ax2沿x轴左、右平移|h|个单位而得到的，由于图象左、右移动，因此对称轴随之改变了．课堂检测基础知识应用题1、抛物线y＝x2－6可由抛物线y＝x2沿轴向平行移动个单位得到，它的开口向，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，y最值＝，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小．2、若抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向下平移3个单位而得到的且过点(2，1)，求该函数关系式，并指出其图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．3、指出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并结合自变量的取值，指出函数的最大值(或最小值)．(1)y＝3(x＋2)2；(2)y＝－2(x＋5)2；(3)y＝2(x－1)2；(4)y＝－(x＋7)2．综合应用题4、在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数yax2＋k的图象(如图27－23所示)大致为()5、如图27－24所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y＝-x2＋3．5运行，然后准确落入篮圈中，已知篮圈的中心与地面的距离为m(1)求球在空中运行的最大高度；(2)如果该运动员跳投时，球出手时与地面的距离为2．25m，那么他距离篮圈中心的水平距离为多少?6、如图27－25所示，抛物线y＝x2＋2与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上．(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；(2)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7、已知二次函数y＝3(x－1)2的图象上有三个点(，y1)，(2，y2)，(－，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为()A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y18、函数y＝ax2－a与y＝(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是图27－26中的()9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，动点P从点C沿CA以1cm／s的速度向点A运动，同时动点Q从点C沿CB以2cm／s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是图27－27中的()10、已知二次函数图象的顶点是(－1，2)，且过点(0，)．(1)求二次函数的表达式，并画出它的图象；(2)求证对任意实数m，点M(m，－m2)都不在这个二次函数的图象上．探索与创新题11、已知二次函数y＝ax2－2的图象经过点(1，－1)，求这个二次函数的解析式，并判断该函数的图象与x轴交点的个数．12、如图27－29所示的是我市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A与点A1，点B与点B1分别关于y轴对称，隧道顶部BCB1为一段抛物线，最高点C与路面AA1的距离为8m，点B，B1与路面AA1的距离为6m，隧道的宽AA1为16m．(1)求隧道顶部抛物线BCB1的解析式；(2)现有一大型运货车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶部与路面距离均为7m，该车能否安全通过这个隧道?说明理由．13、已知抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标为D(0，)，且过点A(1，)．(1)试求这条抛物线的关系式；(2)点F是坐标原点O关于抛物线的顶点D的对称点，坐标为F(0，)，我们可用以下方法求线段FA的长度；过点A作AA1⊥x轴，过F作x轴的平行线交AA1于点A2，则FA2＝1，A2A＝－＝，在Rt△AFA2中，有FA＝＝，已知抛物线上另一点B的横坐标为2，求线段FB的长；(3)若点P是该抛物线在第一象限内的任意一点，试探究线段FP的长度与点P的纵坐标的大小关系，并说明你的理由．体验中考把抛物线y＝2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为()A．y＝2x2＋5B．y＝2x2－5C．y＝2(x＋5)2D．y＝2(x－5)2学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝ax2的关系．抛物线y＝x2－6与y＝x2的形状相同，但位置不同，抛物线y＝x2－6可由抛物线y＝x2沿y轴向下平行移动6个单位而得到．答案：y下6上(0，－6)y轴0小－6＞＜|规律·方法|正确理解y＝ax2＋c与y＝ax2之间的关系是解答本题的关键，求顶点坐标和函数的最值时，要明确x的取值范围．2、分析本题主要考查利用待定系数法求函数解析式，由已知抛物线过(2，1)，可得4a＋k＝1，再根据平移规律可知k＝－3，从而求出a与k解：依题意得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－3．抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点为(0，－3)．3、分析本题主要考查形如y＝a(x＋k)2的二次函数的图象及性质，难度不大．解：(1)抛物线y＝3(x＋2)2开口向上，对称轴为x＝－2，顶点坐标为(－2，0)，当x＝－2时函数有最小值，为y＝0．(2)抛物线y＝－2(x＋5)2开口向下，对称轴为x＝－5，顶点坐标为(－5，0)，当x＝－5时函数有最大值，为y＝0．(3)抛物线y＝2(x－1)2开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，0)，当x＝1时函数有最小值，为y＝0．(4)抛物线y＝－(x＋7)2开口向下，对称轴为x＝－7，顶点坐标为(－7，0)，当x＝－7时函数有最大值，为y＝0．4、分析本题主要考查二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的综合应用．解答本题的关键是分类讨论两个解析式中的系数a，k的符号情况，结合图形与数量关系及二次函数、一次函数的性质综合考虑．直线经过y轴上的点(0，k)，抛物线的顶点是(0，k)，所以它们的交点为(0，k)．①当a＞0时，抛物线开口向上，直线一定经过第一、三象限；②当a＜0时，抛物线开口向下，直线一定经过第二、四象限．综上，结合所给的四个图形，可知B正确．故选B．|规律·方法|解答有关二次函数图象的习题时，常常用到分类讨论思想．5、分析本题主要考查利用二次函数知识解决实际问题．确定抛物线顶点坐标，可求出空中运行的最大高度，由抛物线的纵坐标为3．05和2．25分别求出相对应的横坐标，然后再算出水平距离．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋3．5的顶点坐标为(0，3．5)，∴球在空中运行的最大高度为3．5m．(2)在y＝－x2＋3．5中，当y＝3．05时，3．05＝－x2＋3．5，得x2＝2．25，∴x＝±1．5．又∵x＞0，∴x＝1．5；当y＝2．25时，2．25＝－x2＋3．5，得x2＝6．25，∴x＝±2．5．又∵x＜0，∴x＝－2．5，∴运动员距离篮圈中心的水平距离为|1．5|＋|－2．5|＝4(m)．6、分析抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，k)，对称轴为y轴，由于x轴上的点的纵坐标为零，所以抛物线与x轴交点的纵坐标为零，在求抛物线与x轴的交点坐标时，可令y＝0，通过解方程求出相应的x值即可．解：(1)抛物线y＝－x2＋2的对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)．(2)当y＝0时，－x2＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝2．由已知得A(2，0)，B(－2，0)，易知△AOC为等腰直角三角形．假设存在一点M，使得△MAC≌△OAC。∵OA＝OC，且AC为公共边．∴点M与点O关于直线AC成轴对称，即四边形OAMC为正方形，∴点M的坐标是(2，2)．又由于当x＝2时，y＝－x2＋2＝－×22＋2＝0≠2，∴点M(2，2)不在抛物线y＝－x2＋2上，∴假设不成立，∴在抛物线y＝－x2＋2上不存在一点M，使△MAC≌△OAC7、分析本题主要考查二次函数的图象与性质的应用．由于抛物线y＝3(x－1)2的对称轴为x＝1，故(，y1)，(2，y2)在对称轴右侧，而(－，y3)在对称轴左侧．因为这条抛物线开口向上，故在对称轴右侧，y随x的增大而增大，而＜2，故y1＜y2．又由于|－－1|＞|2－1|，所以(－，y3)比(2，y2)高，因此y3＞y2，即y3＞y2＞y1．故选D．【解题策略】本题也可以利用数形结合思想，画出抛物线，结合图形可判断出y1，y2，y3的大小为y3＞y2＞y1．8、分析本题主要考查二次函数与反比例函数的综合应用．由于a的取值不确定，故应结合a的正、负分类讨论，当a＞0时，抛物线开口向上，交y轴于负半轴，双曲线位于第一、三象限，此种情况不成立；当a＜0时，抛物线开口向下，交y轴于正半轴，双曲线位于第二、四象限，故A选项符合条件．故选A．9、分析本题主要考查二次函数在动点问题中的应用．S△CPQ＝PC·QC＝x·2x＝x2，∴y＝x2(0≤x≤3)．故选C．10、解：(1)依题意可设此二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2＋2．因为点(0，)在它的图象上，所以＝a＋2，解得a＝－．因此二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋2．令y＝0，得x1＝1，x2＝－3，其图象如图27－28所示．证明：(2)假设点M在此二次函数的图象上，则－m2＝－(m＋1)2＋2，解得m2－2m＋3＝0．方程的判别式△＝4－12＝－8＜0，该方程无解，所以假设不成立，所以原结论成立．11、分析本题主要考查二次函数和一元二次方程根的判别式的创新应用．判断y＝ax2－2的图象与x轴交点的个数，可以令y＝0，通过判别式的符号来判定．解：将(1，－1)代入y＝ax2－2中，得－1＝a×12－2，即a－2＝－1，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2－2．令y＝0，得x2－2＝0，即x＝±，∴该函数的图象与x轴有两个交点．12、分析本题主要考查二次函数在实际问题中