比较定积分值的大小比较f(x)=sinx/(1+x平方)和g(x 爱问知识人

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• 2024-10-18 12:03

两积分相减得 ∫(0,π/2)[sinx-cosx]/(1+x^2)dx =√2∫(0,π/2)sin(x-π/4)/(1+x^2)dx =√2∫(-π/4,π/4)sinx/[1+(x+π/4)^2]dx =√2{∫(0,π/4)sinx/[1+(x+π/4)^2]dx+∫(-π/4,0)sinx/[1+(x+π/4)^2]dx} =√2{∫(0,π/4)sinx/[1+(x+π/4)^2]dx-∫(0,π/4)sinx/[1+(x-π/4)^2]dx} =√2∫(0,π/4)sinx(-πx)/{[1+(x+π/4)^2][1+(x-π/4)^2]}dx =-π√2∫(0,π/4)xsinx/{[1+(x+π/4)^2][1+(x-π/4)^2]}dx ＜0 所以，前者的积分小。

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