托勒密定理
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亚历山大里亚的托勒密（Claudius Ptolemy）生活于大约公元2世纪。今天讲以他的名字命名的托勒密定理及它的证明，再讲几个由这个定理导出的有趣的结论。
一、托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。
证明：
（1）如下图所示。不妨设∠ACB大于∠ACD（其实也无所谓，见下图图2，先不用管它）。于是，在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（图(1)中的红色角）。又由于∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），所以三角形ACD与BCE相似。于是有AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE（称为1式）。
（2）同理，如上图图(2)所示，三角形CDE与ABC相似。从而有CD : AC = DE : AB，即AB·CD=AC·DE（称为2式）。
（3）1式加上2式，即得AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD。即
AC·BD=AB·CD+AD·BC
证毕。
二、几个有趣的结果
（1）如下图所示，点P位于等边三角形ABC外接圆的劣弧AB上，则有PC=PA+PB。（证明很简单：由托勒密定理，在四边形APBC中，PC·AB=PA·BC+CA·PB。而等边三角形三边相等，即AB=BC=CA，所以，PC=PA+PB。证毕。）
（2）如下图所示，点P位于正方形ABCD外接圆的劣弧AB上，则有(PA+PC)PC=(PB+PD)PD。（证明不难：由托勒密定理，在四边形APCD中，PD·AC=PA·DC+PC·AD；在四边形BPDC中，PC·BD=PB·DC+PD·BC；因为正方形四边相等，我们设它为a。于是，上两式成为：PD·AC=PA·a+PC·a (1式)；PC·BD=PB·a+PD·a (2式)。1式乘以PC，2式乘以PD，得PC·PD·AC=(PA·a+PC·a)·PC (3式)；PD·PC·BD=(PB·a+PD·a)·PD (4式)。因为正方形对角线AC=BD，所以，3式和4式的左侧是相等的，于是，3式和4式的右侧也相等。所以有(PA·a+PC·a)·PC = (PB·a+PD·a)·PD。两边约去a，得(PA+PC)·PC = (PB+PD)·PD。证毕。）
（3）对正五边形和正六边形，应用托勒密定理，可以得到类似的结论。我只给出结论，证明您自己试一试，试的时候，需要画图就画图，不必要“空”想。
点P位于正五边形ABCDE外接圆的劣弧AB上，则有PC+PE=PA+PB+PD。
点P位于正六边形ABCDEF外接圆的劣弧AB上，则有PD+PE=PA+PB+PC+PF。
《数学文化小丛书》第一、二、三辑书目（丛书介绍中只含每本小册子的书名，不含作者，我一本一本搜索，查出每本小册子的作者，我认为作者也很重要，我购书一定要看作者。结果如下，都是名家。）
第一辑：
《遥望星空(一)：人类怎样开始认识太阳系》（齐民友）
《遥望星空(二)：牛顿·微积分·万有引力定律的发现》（李大潜）
《几何学在文明中所扮演的角色：纪念陈省身先生的辉煌几何人生》（项武义）
《圆周率π漫话》（李大潜）
《黄金分割漫话》（李大潜）
《从赵爽弦图谈起》（李文林）
《费马大定理的证明与启示》（周明儒）
《二战时期密码决战中的数学故事》（王善平 张奠宙）
《数学中之类比：一种富有创造性的推理方法》（王培甫）
《连分数与历法》（徐诚浩）
第二辑：
《漫话e》（李大潜）
《认识博弈的纳什均衡》（王则柯）
《笛卡儿之梦》（李文林）
《奇妙的无穷》（李忠）
《并不神秘的非欧几何》（李忠）
《从欧拉的数学直觉谈起：纪念伟大数学家欧拉诞辰300周年》（周明儒）
《走近高斯》（周明儒）
《对称与群》（顾沛）
《同余式及其应用》（徐诚浩）
《千古第一定理：勾股定理》（蔡宗熹）
第三辑：
《从多面体到水立方》（齐民友）
《统计知玄妙》（杨虎）
《圆锥截线的故事：数学与文明的一个重大篇章》（项武义）
《堆球的故事》（宗传明）
《开启航天大门的金钥匙：齐奥尔科夫斯基公式》（李大潜）
《漫步数学之美》（张士军）
《数学与音乐》（周明儒）
《谈天说地话历法》（徐诚浩）
《探秘古希腊数学》（王能超）
《分形：颠覆传统的几何学》（邱维元）
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