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正交群O(n,R)是紧集的证明

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2024-10-16 18:25

1 一般线性群 G L ( n , R ) GL(n,mathbb{R}) GL(n,R)上拓扑的构造

1.1矩阵范数与度量空间

我们普遍熟悉度量空间 R n mathbb{R}^n Rn的代数结构和拓扑结构. R n mathbb{R}^n Rn上每一个元素都是一个n元有序对 x = ( x 1 , ⋯ , x n ) x=(x_1,cdots,x_n) x=(x1,⋯,xn),称之为向量。可以在 R n mathbb{R}^n Rn上规定度量： d ( x , y ) = ∑ k = 1 n ( x k − y k ) 2 d(x,y)=sqrt{sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2} d(x,y)=k=1∑n(xk−yk)2

使得 R n mathbb{R}^n Rn成为一个度量空间。任意给定一个向量 x 0 x_0 x0,我们称向量 x 0 x_0 x0的半径为 ϵ epsilon ϵ的邻域为集合 B ( x 0 , ϵ ) = { x ∣ d ( x , x 0 ) < ϵ } B(x_0,epsilon)={x|d(x,x_0)<epsilon} B(x0,ϵ)={ x∣d(x,x0)<ϵ}。指定 R n mathbb{R}^n Rn的子集族 τ d = { U ∣ U tau_d={U|U τd={ U∣U为 R n mathbb{R}^n Rn若干邻域的并 } } },从而 τ d tau_d τd成为 R n mathbb{R}^n Rn上的拓扑。给出拓扑后 R n mathbb{R}^n Rn成为一个度量拓扑空间。

域F上的 m × n mtimes n m×n矩阵本质上是 m × n mtimes n m×n个元素的某种"有序集合"，如果我们将矩阵每行元素依次放进一个有序元组中，就得到了 R m n mathbb{R}^{mn} Rmn的一个向量。一个清楚的办法就是将 m × n mtimes n m×n矩阵同的一个向量等同起来：
A = ( a i j ) m × n → x = ( x 11 , ⋯ , x 1 n , ⋯ , x m 1 , ⋯ , x m n ) mathbf{A}=(a_{ij})_{mtimes n}rightarrow x=(x_{11},cdots,x_{1n},cdots,x_{m1},cdots,x_{mn}) A=(aij)m×n→x=(x11,⋯,x1n,⋯,xm1,⋯,xmn)

这样我们便可以将矩阵空间 M m × n ( R ) M_{mtimes n}(mathbb{R}) M