优质解答
实际上在定义 e^(x+iy) 的值具体是多少之前,讨论它是没意义的
而 e^(x+iy)＝e^xcosy＋ie^xsiny 正可以作为单变量的复变函数 f(z)=e^z 在 z=x+iy 处的定义
所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的,你看到的证明是怎么回事呢?
是因为有些时候我们用另一种定义去定义 f(z)=e^z 的值,
那就是用幂级数 f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...来定义,
而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性
现在我们有了复指数函数的定义(而且是出自两种不同的方式,却相互和谐的定义)
但是对三角函数,我们还只能处理实变量的情况,现在我们要继续推广出复变量的三角函数.
因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式 e^z=cosz+isinz
同时注意到 e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz
所以我们就"顺水推舟地"定义 Cosz=(e^z+e^(-z))/2
类似的,定义 Sinz=(e^z-e^(-z))/2i,Tanz=Sinz/Cosz
这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了,不过此时的正余弦函数失去了“有界性”,即对任意的复数w,不能总保证 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1
这样欧拉公式 e^z=Cosz+iSinz 就对任意的复数z都成立了.
复数乘法的意义体现在复数的模与辐角上,这一点写成三角形式特别容易证明
z1=r1(cosa+isina)
z2=r2(cosb+isinb)
利用简单的三角公式,很容易证明 z1z2 的模就是 r1r2 ,而辐角就是两个复数各自辅角的和 a+b
也即 z1z2=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b))
注意模在复数乘法中的不变性是比较重要的一个性质,尽管写成三角形式它很显然,而它的另一面就是一个比较著名的恒等式：
z1=a+bi
z2=c+di
同样利用乘积的模等于模的乘积,有 (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2
该恒等式能反映出的一个事实是,两个形如 x^2+y^2 的数的乘积,也能表示成类似的平方和,这在数论里有一定意义,详细可见 “费马平方和问题”.
